本發(fā)明涉及濾波器組設(shè)計(jì)技術(shù)領(lǐng)域，具體涉及一種基于凸優(yōu)化松弛的dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法。

背景技術(shù)：

多速率濾波器組在語(yǔ)音信號(hào)處理、子帶編碼、圖像處理、雷達(dá)信號(hào)處理、多媒體信號(hào)處理等諸多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。尤其在通信方面，濾波器組展現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)。從1974年將dft調(diào)制濾波器組應(yīng)用到數(shù)字多路轉(zhuǎn)化器當(dāng)中，并用于電話傳輸再到2007年利用濾波器組來(lái)替換ofdm里面的idft/dft，研究學(xué)者從未削弱對(duì)濾波器組的研究熱情。如今，fbmc可能是未來(lái)5g通信標(biāo)準(zhǔn)之一。5g通信需要超高數(shù)據(jù)處理速率，可利用多速率技術(shù)來(lái)降低信號(hào)的處理復(fù)雜度，數(shù)據(jù)的傳輸率和存儲(chǔ)量。由此可見，設(shè)計(jì)好的多速率濾波器組能有效的提高通信系統(tǒng)性能。而對(duì)于一般結(jié)構(gòu)的濾波器組而言，往往需要分別設(shè)計(jì)各個(gè)子帶的濾波器，優(yōu)化規(guī)模較大。調(diào)制濾波器組的提出有效地解決了這個(gè)問題，因?yàn)榇祟悶V波器組只需設(shè)計(jì)原型濾波器即可。兩類主要的調(diào)制濾波器組是余弦調(diào)制濾波器組和離散傅立葉變換(dft)調(diào)制濾波器組。其中，dft調(diào)制濾波器組的子帶濾波器是單邊譜，可將信號(hào)的正負(fù)頻率分割至不同的子帶來(lái)進(jìn)行處理，這一特性使其更加適用于復(fù)值信號(hào)處理。

至今，已有許多dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法。如wilburmr等人在《ieeetransactionsonsignalprocessing》發(fā)表的《efficientdesignofoversamplednprgdftfilterbanks》的方法采用半定規(guī)劃算法設(shè)計(jì)過(guò)采樣的單原型dft調(diào)制濾波器組，其設(shè)計(jì)問題被描述成一個(gè)半無(wú)窮的規(guī)劃問題，利用線性矩陣不等式將設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)半定規(guī)劃問題，進(jìn)而得到全局最優(yōu)解。如damhh等人在《ieeetransactionsoncircuitsandsystemsii-expressbriefs》發(fā)表的《iterativemethodforthedesignofdftfilterbank》方法采用雙迭代的半定規(guī)劃法來(lái)設(shè)計(jì)過(guò)采樣的雙原型dft調(diào)制濾波器組，其分析和綜合原型濾波器都是采用半定規(guī)劃算法迭代求解。

然而，上述設(shè)計(jì)dft調(diào)制濾波器組所采用的方法仍有不足之處：權(quán)衡濾波器的性能指標(biāo)，其設(shè)計(jì)所得的濾波器組雖在阻帶衰減上表現(xiàn)良好，但是其在重構(gòu)誤差性能上表現(xiàn)不佳，其整體性能仍有提升空間。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的技術(shù)問題是現(xiàn)有現(xiàn)有dft調(diào)制濾波器的設(shè)計(jì)方法存在整體性能不佳的問題，提供一種基于凸優(yōu)化松弛的dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法。

為解決上述問題，本發(fā)明是通過(guò)以下技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)的：

基于凸優(yōu)化松弛的dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法，具體包括如下步驟：

步驟1、根據(jù)濾波器組的性能指標(biāo)，將dft調(diào)制濾波器的設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為一個(gè)關(guān)于分析原型濾波器的帶約束優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為最小化分析原型濾波器阻帶能量，并約束濾波器組的完全重構(gòu)時(shí)域條件；

步驟2、引入迭代增量，將dft調(diào)制濾波器的設(shè)計(jì)問題由關(guān)于分析原型濾波器的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為關(guān)于迭代增量的優(yōu)化問題；并通過(guò)凸優(yōu)化松弛即保證|dki|≤βk，將優(yōu)化問題中關(guān)于迭代增量的高度非線性非凸規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換成凸規(guī)劃問題；

步驟3、給定一個(gè)長(zhǎng)度為n的初始的分析原型濾波器h0；

步驟4、運(yùn)用凸優(yōu)化松弛方法和迭代求解方法，利用上次迭代所得的分析原型濾波器的系數(shù)向量hk-1去求解步驟2的優(yōu)化問題，得到本次迭代的迭代增量dk；

步驟5、將上次所得的迭代分析原型濾波器的系數(shù)向量hk-1與本次迭代求解所得的迭代增量dk相加，求得本次迭代的分析原型濾波器的系數(shù)向量hk；即hk＝hk-1+dk；

步驟6、判斷||hk-1-hk||2≤η是否滿足；若滿足，則終止迭代，將本次迭代得到的分析原型濾波器的系數(shù)向量hk作為最終的分析原型濾波器的系數(shù)向量h；若不滿足，則令迭代次數(shù)k加1，并返回步驟4；

步驟7、根據(jù)所求出的分析原型濾波器的系數(shù)向量h，通過(guò)調(diào)制公式求出各個(gè)通道濾波器的分析原型濾波器的系數(shù)系數(shù)和綜合原型濾波器的系數(shù)，從而確定整個(gè)dft調(diào)制濾波器組；

上述βk為預(yù)設(shè)的第k次迭代約束值；dki為第k次迭代增量dk的第i個(gè)分量；k為迭代次數(shù)，k＝1,2,…；i＝0,1,…,n-1，n為分析原型濾波器的長(zhǎng)度；η為給定的迭代終止判斷值。

上述步驟2中所構(gòu)建的優(yōu)化問題為：

min(hk-1+dk)^ts(hk-1+dk)

s.t.||a(hk-1)hk-1+2a(hk-1)dk-b||2≤ξ

|dki|≤βk

式中，hk-1為第k-1次迭代所得的分析原型濾波器的系數(shù)向量；dk為第k次迭代迭代增量，dk＝[dk(0),dk(1),…,dk(n-1)]^t，dki為迭代增量dk的第i個(gè)分量；k為迭代次數(shù)，k＝1,2,…；i＝0,1,…,n-1，n為分析原型濾波器的長(zhǎng)度；a(hk-1)為關(guān)于hk-1的正定矩陣；b為列向量，b為b＝[1/m,…,1/m,0,…,0]^t，其中1/m的數(shù)量為k，0的數(shù)量為n-k，m為濾波器組的通道數(shù)，k為采樣因子，n為分析原型濾波器的長(zhǎng)度；ξ為給定的完全重構(gòu)條件約束值；βk為預(yù)設(shè)的第k次迭代約束值；c(ω,n)＝[1,e^-jω,…,e^-j(n-1)ω]^t，ω為頻率，上標(biāo)^t表示轉(zhuǎn)置，上標(biāo)^h表示共軛轉(zhuǎn)置。

上述第k+1次迭代約束值為第k次迭代約束值的1/10。

上述步驟7中所述的調(diào)制公式為：

其中，gm(n)為第m通道的綜合原型濾波器的系數(shù)，hm(n)為第m通道分析原型濾波器的系數(shù)，h(n)為分析原型濾波器的系數(shù)向量h的第n個(gè)元素，wm＝exp(-j2π/m)；n＝0,1,…,n-1，n為分析原型濾波器的長(zhǎng)度；m＝0,1,…,m-1，m為濾波器組的通道數(shù)；d為設(shè)定的系統(tǒng)延遲。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明通過(guò)約束濾波器組的完全重構(gòu)時(shí)域條件，使設(shè)計(jì)所得的dft調(diào)制濾波器組重構(gòu)誤差更小，整體性能更加優(yōu)異。同時(shí)，本發(fā)明利用迭代方法并且通過(guò)凸優(yōu)化松弛將高度非線性非凸規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換成凸規(guī)劃問題，顯著降低了dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)代價(jià)。所以本發(fā)明為降低設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確重建提供了簡(jiǎn)單高效的解決方案。

附圖說(shuō)明

圖1為dft調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu)。

圖2為本發(fā)明提供的設(shè)計(jì)dft調(diào)制濾波器組的流程圖。

圖3為本發(fā)明的實(shí)例1中wilbur方法原型濾波器的幅度響應(yīng)。

圖4為本發(fā)明的實(shí)例1的幅度響應(yīng)。

圖5為本發(fā)明的實(shí)例2中wilbur方法原型濾波器的幅度響應(yīng)。

圖6為本發(fā)明的實(shí)例2的幅度響應(yīng)。

具體實(shí)施方式

圖1給出了一個(gè)通道數(shù)為m，采樣因子為k，延遲為d的dft調(diào)制濾波器組的基本結(jié)構(gòu)。在上述結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上所提出的基于凸優(yōu)化松弛的dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法，如圖2所示，其包括如下步驟：

第一步：h(ω)和g(ω)分別為分析和綜合濾波器的頻率響應(yīng)。本文僅考慮單原型濾波器組，即分析和綜合濾波器是相同的。設(shè)長(zhǎng)度為n的低通濾波器h和g分別為分析和綜合原型濾波器，故有兩者的頻率響應(yīng)存在如下關(guān)系：

g(ω)＝h(ω)＝c^t(ω,n)h(1)

式中c(ω,n)＝[1,e^-jω,…,e^-j(n-1)ω]^t。

系統(tǒng)延遲為d的dft調(diào)制濾波器組的調(diào)制公式為：

式中wm＝exp(-j2π/m)。其頻率響應(yīng)為：

濾波器組的輸入輸出關(guān)系如下式：

式中，

其中，t＝1,2,…,k-1，x(ω)和分別代表輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的頻率響應(yīng)。t0(ω)代表系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，at(ω)代表系統(tǒng)的混疊傳遞函數(shù)。

第二步：阻帶能量es(h)的表達(dá)式如下：

式中，h表示分析原型濾波器，上標(biāo)^t表示轉(zhuǎn)置，上標(biāo)^h表示共軛轉(zhuǎn)置。

第三步：濾波器完全重構(gòu)的時(shí)域條件表達(dá)式如下：

a(h)h＝b(8)

式中，

其中，nk,l表示的是序列中r的數(shù)量。

第四步：在過(guò)采樣的dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)中包含了傳遞函數(shù)失真、混疊失真、帶內(nèi)混疊、重構(gòu)誤差、原型濾波器的阻帶衰減和通帶平坦性等性能指標(biāo)。高的阻帶衰減和小的重構(gòu)誤差是dft調(diào)制濾波器組設(shè)計(jì)所期待的。一維單原型dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于原型濾波器的設(shè)計(jì)，其性能直接決定了濾波器組的整體性能。

低的阻帶能量和好的重構(gòu)特性可以保證獲得整體性能較好的濾波器組。因此本發(fā)明從分析原型濾波器的阻帶能量和其完全重構(gòu)時(shí)域條件出發(fā)，首先將設(shè)計(jì)問題描述成目標(biāo)函數(shù)為分析原型濾波器的阻帶能量，約束函數(shù)為濾波器組的完全重構(gòu)時(shí)域條件的優(yōu)化問題，表示為：

minh^tsh(11)

s.t.||a(h)h-b||2≤ξ

其中，ξ是一個(gè)很小的正數(shù)。在該優(yōu)化問題中，約束函數(shù)是關(guān)于h的一個(gè)高度非線性非凸的問題，求解起來(lái)比較困難。本發(fā)明引入迭代思想。設(shè)第k次迭代的迭代增量為dk，上一次迭代所得的分析原型濾波器為hk-1，本次迭代所得的分析原型濾波器為hk，則有：

hk＝hk-1+dk(12)

式中，dk＝[dk(0),dk(1),…,dk(n-1)]^t。

在每次迭代中，用所得的hk-1來(lái)更新原型濾波器的設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)的初次迭代中需要確定初始的原型濾波器h0，一旦確定h0后，之后的迭代求解則由關(guān)于hk的優(yōu)化求解轉(zhuǎn)化為關(guān)于迭代增量dk的優(yōu)化求解。即原優(yōu)化問題(11)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

min(hk-1+dk)^ts(hk-1+dk)(13)

s.t.||a(hk-1+dk)(hk-1+dk)-b||2≤ξ

令f(hk-1)＝a(hk-1)hk-1-b，則f(hk)為：

f(hk)＝a(hk-1+dk)(hk-1+dk)-b(14)

將式子(14)代入式子(13)可得：

min(hk-1+dk)^ts(hk-1+dk)(15)

s.t.||a(hk-1)hk-1+2a(hk-1)dk+a(dk)dk-b||2≤ξ

由式子(15)可見此時(shí)的約束函數(shù)是一個(gè)關(guān)于增量d的非凸問題，仍然較難求解。受luws等人在《ieeetransactionsoncircuits&systemsiregularpapers》發(fā)表的《asecond-orderconeprogrammingapproach》中二階錐規(guī)劃方法的啟示，引入凸優(yōu)化松弛思想。只要保證每次迭代中增量dk的第i個(gè)分量|dki|≤βk，其中βk為每次迭代中預(yù)設(shè)的很小的正數(shù)，就可以將f(hk)近似表示為：

其中，

綜上所述，通過(guò)凸優(yōu)化松弛后可將設(shè)計(jì)問題(10)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

min(hk-1+dk)^ts(hk-1+dk)(17)

s.t.||a(hk-1)hk+2a(hk-1)dk-b||2≤ξ

|dki|≤βk

將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為問題(17)后，約束函數(shù)轉(zhuǎn)化成了關(guān)于迭代增量dk的凸規(guī)劃問題，進(jìn)而可以利用凸規(guī)劃工具包來(lái)進(jìn)行求解。

第五步：根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)一個(gè)長(zhǎng)度為n的低通濾波器的迭代初值h0，h0＝[h0(0),h0(1),…,h0(n-1)]^t；n為給定的正整數(shù)；

第六步：利用得到的hk-1，求解優(yōu)化問題(17)得到dk；

第七步：利用式(12)更新分析原型濾波器；

第八步：判斷||hk-1-hk||2≤η(η是一個(gè)很小的預(yù)設(shè)的正數(shù))是否成立；如果成立，則終止迭代，本次迭代的hk作為最終結(jié)果；若不成立，則令迭代次數(shù)k加1即k＝k+1，βk設(shè)置為上一次的1/10即βk＝βk/10，并返回至第六步繼續(xù)迭代過(guò)程，并返回至第六步繼續(xù)迭代過(guò)程。

第九步：根據(jù)第八步求出的原型濾波器hk，通過(guò)調(diào)制公式(2)求出各個(gè)通道濾波器的系數(shù)hm和gm，從而確定了整個(gè)dft調(diào)制濾波器組。

下面通過(guò)具體的仿真實(shí)例對(duì)本發(fā)明的性能進(jìn)行進(jìn)一步說(shuō)明。

實(shí)例1

考慮設(shè)計(jì)一個(gè)30通道的dft調(diào)制濾波器組，其相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：m＝30，k＝15，n＝121，d＝120。首先利用wilburmr等人在《ieeetransactionsonsignalprocessing》發(fā)表的《efficientdesignofoversamplednprgdftfilterbanks》的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，失真參數(shù)設(shè)置為εr＝2×10^-8。接著利用本發(fā)明方法，相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：ξ＝1×10^-4，η＝1×10^-3，初始迭代設(shè)置β1＝0.1，之后在每次迭代中，βk設(shè)置為上一次的1/10。wilburmr等人提出的方法設(shè)計(jì)所得的原型濾波器的幅度響應(yīng)如圖3所示，本發(fā)明的原型濾波器的幅度響應(yīng)如圖4所示。表1列出了相關(guān)的性能指標(biāo)。

表1

從表中可以看出，本發(fā)明設(shè)計(jì)的濾波器組重構(gòu)誤差比現(xiàn)有方法低了約10db。在濾波器組的設(shè)計(jì)中，為了能更好的恢復(fù)原信號(hào)，需要濾波器組應(yīng)具有更小的重構(gòu)誤差，因此本發(fā)明設(shè)計(jì)算法有著更好的重構(gòu)性能。

實(shí)例2

考慮設(shè)計(jì)一個(gè)40通道的dft調(diào)制濾波器組，其相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：m＝40，k＝20，n＝161，d＝160。其中，在利用wilburmr等人在《ieeetransactionsonsignalprocessing》發(fā)表的《efficientdesignofoversamplednprgdftfilterbanks》的方法設(shè)計(jì)時(shí)，失真參數(shù)設(shè)置為εr＝2×10^-8。接著利用本發(fā)明的方法，相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：ξ＝1×10^-4，η＝1×10^-3，初始迭代設(shè)置β0＝0.1，之后在每次迭代中，βk設(shè)置為上一次的1/10。wilburmr等人提出的方法設(shè)計(jì)所得的原型濾波器的幅度響應(yīng)如圖5所示，本發(fā)明的原型濾波器的幅度響應(yīng)如圖所示圖6。表2列出了相關(guān)的性能指標(biāo)。

表2

從表中可以看出，本發(fā)明方法設(shè)計(jì)的濾波器組的阻帶能量水平比現(xiàn)有方法高了約5db，重構(gòu)誤差比現(xiàn)有方法低了約10db。雖然本發(fā)明較現(xiàn)有方法在阻帶能量水平上表現(xiàn)稍差，但本發(fā)明設(shè)計(jì)的濾波器組在重構(gòu)誤差上比現(xiàn)有方法表現(xiàn)更優(yōu)。權(quán)衡濾波器組設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)，本發(fā)明設(shè)計(jì)的濾波器組整體性能更佳。

一方面，由于本發(fā)明所提出的優(yōu)化問題的約束是濾波器組的完全重構(gòu)條件，故其設(shè)計(jì)所得的濾波器組具有更好的完全重構(gòu)特性，提高濾波器組的性能。另一方面，本發(fā)明圍繞一維單原型dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)問題，提出了基于凸優(yōu)化松弛的dft調(diào)制濾波器組的設(shè)計(jì)方法，通過(guò)凸優(yōu)化松弛將原非凸規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃問題后再進(jìn)行迭代求解，降低計(jì)算復(fù)雜度。