基于Associated Hermite 正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法
【專利摘要】本發(fā)明涉及一種無條件穩(wěn)定的電磁場時(shí)域有限差分（FDTD）新算法。它通過AssociatedHermite（AH）正交函數(shù)展開微分形式的Maxwell方程組，利用伽遼金（Galerkin）原理消除時(shí)間變量，得到有限維AH域的隱式方程進(jìn)行求解。最后通過AH域反變換得到電磁場時(shí)域結(jié)果。該發(fā)明通過時(shí)域到AH域的轉(zhuǎn)化，使得未知量求解個(gè)數(shù)大大減少，計(jì)算效率顯著提高；整個(gè)計(jì)算過程與時(shí)間變量無關(guān)，不受傳統(tǒng)FDTD穩(wěn)定性條件的限制，計(jì)算結(jié)果無條件穩(wěn)定。這些特點(diǎn)為高效快速計(jì)算具有多尺度特性的復(fù)雜電磁場問題，提供了新的解決方法。
【專利說明】基于Associated Hermite正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算
法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001]本發(fā)明涉及一種無條件穩(wěn)定的電磁場時(shí)域有限差分(FDTD)算法。
【背景技術(shù)】
[0002]隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和電磁理論的應(yīng)用與推動(dòng)，計(jì)算電磁學(xué)時(shí)域方法得到了長足的發(fā)展，與頻域方法相輔相成。時(shí)域的方法的優(yōu)點(diǎn)是可以給出豐富的瞬態(tài)信息，能更直觀地模擬物理現(xiàn)象。通過對時(shí)域信息直接作傅里葉變換(Fourier),可以得到問題的頻域信息?；谶@些好的特性，時(shí)域方法在通信、雷達(dá)、電磁防護(hù)、電磁兼容、醫(yī)療診斷等方面得到了廣泛地應(yīng)用和深入地研究。此外，在一些特定的領(lǐng)域，如電磁脈沖、雷電和高能微波脈沖等瞬態(tài)脈沖現(xiàn)象、及非線性材料等領(lǐng)域，頻域方法不能很好的解決或無法求解，而時(shí)域方法可以應(yīng)用并得到滿意的結(jié)果，這是頻域方法無法替代的。
[0003]時(shí)域有限差分(finite-differencetime-domain, FDTD)方法是由 Kane S.Yee在1966年提出，以有限差分方法為基礎(chǔ)，使用Yee網(wǎng)格空間離散框架，對麥克斯韋旋度方程分量式的時(shí)間和空間坐標(biāo)微分作數(shù)值離散，得到差分格式的電磁場數(shù)值計(jì)算方法。傳統(tǒng)的FDTD方法是顯式差分方法，受柯西穩(wěn)定性條件約束，時(shí)間步長值取決于最小空間步長。為了準(zhǔn)確地模擬含有精細(xì)結(jié)構(gòu)的電磁模型，需要用足夠小的空間步長對求解區(qū)域劃分網(wǎng)格。為了保證計(jì)算的穩(wěn)定性，時(shí)間步長的取值也非常小，需要的時(shí)間步進(jìn)數(shù)目非常大，這使得傳統(tǒng)的FDTD方法仿真所需時(shí)間非常長乃至難以接受。為了提高FDTD方法求解這類具有多尺度特性的電磁問題的效率，許多專家和學(xué)者在減弱或消除FDTD的柯西穩(wěn)定性條件約束方面做了大量工作。其中，無條件穩(wěn)定的FDTD方法為重要研究方向。例如:AD1-FDTD, CN-FDTD, LOD-FDTD 和 Laguerre-FDTD 等。其中，Laguerre-FDTD 方法以加權(quán)Laguerre多項(xiàng)式為基函數(shù),通過求解展開系數(shù)實(shí)現(xiàn)高效快速的仿真計(jì)算。
[0004]Associated Hermite正交函數(shù)由Hermite多項(xiàng)式和高斯函數(shù)加權(quán)得到。其“最具時(shí)頻緊支基函數(shù)”和“時(shí)頻基同型”的特點(diǎn)使得它在信號(hào)處理、圖像分析和生物工程等領(lǐng)域有廣泛的研究和應(yīng)用。本發(fā)明利用Associated Hermite正交函數(shù)的優(yōu)良特點(diǎn)并結(jié)合FDTD基本原理推導(dǎo)出一種無條件穩(wěn)定的新算法。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0005]本發(fā)明的目的:針對傳統(tǒng)FDTD方法在穩(wěn)定性方面的限制及多尺度電磁問題建模的不足，提出一種基于Associated Hermite正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法,可以對多尺度特性電磁問題實(shí)現(xiàn)高效快速的時(shí)域仿真分析，并以此為進(jìn)一步挖掘AH基函數(shù)優(yōu)良特點(diǎn)在FDTD中其他方面的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。
[0006]本發(fā)明需要解決的關(guān)鍵問題是:①如何將時(shí)域Maxwell方程變換成AH域線性方程組；②如何求解AH域線性方程組。
[0007]本發(fā)明利用Associated Hermite (AH)正交函數(shù)作為展開Maxwell方程組的基函數(shù)，利用伽遼金(Galerkin)原理消除時(shí)間變量，得到與基函數(shù)階數(shù)相關(guān)的方程組，建立方程組從時(shí)域到AH域的轉(zhuǎn)換，從而時(shí)域的求解轉(zhuǎn)化為AH域展開系數(shù)的求解。由于AH基函數(shù)微分的固有“相鄰階”特點(diǎn)，使得AH域的Maxwell方程組也呈現(xiàn)“相鄰階”的特點(diǎn)。聯(lián)立空間所有展開系數(shù)，引入初值條件，得到一個(gè)嵌套矩陣系數(shù)的五對角隱式方程，采用LU分解對系數(shù)矩陣進(jìn)行分解，從而用追趕法求解磁場(電場)展開系數(shù)?；居?jì)算單元是與基函數(shù)空間維數(shù)相等的低階矩陣單元。電場(磁場)展開系數(shù)可以通過磁場(電場)單獨(dú)求解。
[0008]所述的AH正交基函數(shù)是指由Hermite多項(xiàng)式慫⑴和高斯函數(shù)exp(-12/2)加權(quán)得到的具有時(shí)頻緊支撐特點(diǎn)的正交基函數(shù)集
【權(quán)利要求】
1.基于AssociatedHermite (AH)正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法,其特征在于,利用AH基函數(shù)展開Maxwell方程組，用伽遼金(Galerkin)原理消除時(shí)間變量，聯(lián)立空間所有展開系數(shù)，引入初值條件，得到一個(gè)嵌套矩陣系數(shù)的五對角隱式方程，電場或者磁場展開系數(shù)可以單獨(dú)求解出來。
2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于AH正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法，其特征在于首次運(yùn)用Associated Hermite正交函數(shù)作為基函數(shù)展開Maxwell方程組，實(shí)現(xiàn)時(shí)域Maxwell微分方程組到AH域線性方程組的轉(zhuǎn)化。
3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于AH正交函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法，其特征在于利用AH基函數(shù)微分公式推導(dǎo)出來的電磁場微分表示形式，結(jié)合Galerkin原理，得到了權(quán)利2中的線性方程組。
4.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于AH正交基函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法，其特征在于通過引入初值條件，實(shí)現(xiàn)了權(quán)利2和3中線性方程組的封閉求解。
5.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于AH正交基函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法，其特征在于權(quán)利4中得到的封閉方程組的求解是通過聯(lián)立空間所有展開系數(shù)，消去電場(或磁場)分量，最后得到僅關(guān)于磁場(或電場)分量的具有嵌套矩陣系數(shù)特點(diǎn)的五對角隱式方程來實(shí)現(xiàn)求解。
6.根據(jù)權(quán)利要求1所述的基于AH正交基函數(shù)的無條件穩(wěn)定FDTD算法，其特征在于電場和者磁場展開系數(shù)可以分別單獨(dú)求解，這與傳統(tǒng)FDTD的“耦合”同時(shí)求解不同。
【文檔編號(hào)】G06F17/14GK103970717SQ201410190150
【公開日】2014年8月6日 申請日期:2014年5月8日 優(yōu)先權(quán)日:2014年5月8日
【發(fā)明者】石立華, 黃正宇, 陳彬, 周穎慧 申請人:中國人民解放軍理工大學(xué)