本發(fā)明屬于信道，它特別涉及一種針對多項式碼的快速編碼方法及系統(tǒng)。

背景技術：

1、在代數(shù)編碼領域中，有一類基于多項式定義的碼字，其中就包括rs碼，rs碼是reed和solomon于1960年發(fā)現(xiàn)的一類多進制的多項式描述的糾錯碼。特別是rs碼，隨著rs碼的提出，其譯碼算法在未來幾十年里，得到了深入的研究，它們的理論和相關技術都非常成熟。因其優(yōu)秀的糾錯性能，廣泛應用于光盤、qr碼、衛(wèi)星通信等領域。

2、而廣義rs碼擴展了傳統(tǒng)rs碼的定義，使得其能夠在更復雜的信道下進行傳輸，除了廣義rs碼外，另一類碼字通過在rs碼的基礎上引入了隨機性，從而形成了一種具有更強抗攻擊能力的編碼方案。這種算法不僅提高了編碼的安全性，還增強了其對噪聲和數(shù)據(jù)丟失的容忍度。通過在編碼過程中添加隨機元素，攻擊者很難預測或操控最終生成的碼字，這使得解碼過程更加復雜。因此，這種基于隨機性的rs碼變體在現(xiàn)代通信系統(tǒng)和數(shù)據(jù)存儲中，尤其是在對安全性要求較高的場合，如金融交易和密鑰交換中，展現(xiàn)出了極大的應用潛力。

3、現(xiàn)有技術存在的技術問題：

4、1)多項式碼編碼效率低

5、傳統(tǒng)多項式碼編碼過程需要逐點計算多項式的賦值結果，時間復雜度為。在大規(guī)模數(shù)據(jù)應用中，這種計算方式效率較低，難以滿足實時性要求。

6、2)遞歸算法應用中的復雜性

7、多項式遞歸分解和賦值點的遞歸調(diào)用在大規(guī)模多點賦值時容易出現(xiàn)效率瓶頸，尤其是賦值點分布不均或賦值點數(shù)量過多時，算法復雜度難以降低。

8、3)無法充分利用賦值點的結構特性

9、現(xiàn)有方法通常忽略了賦值點向量的特性(如是否可以由本原元表示)，導致未能采用快速傅里葉變換(fft)等高效算法完成多點賦值。

10、4)編碼結果驗證與存儲問題

11、傳統(tǒng)編碼方案缺乏對中間結果的存儲與驗證機制，導致計算錯誤或后續(xù)應用中數(shù)據(jù)不一致。

12、5)缺乏靈活的性能優(yōu)化機制

13、現(xiàn)有技術未根據(jù)輸入數(shù)據(jù)的特性(如多項式的規(guī)模、賦值點的分布等)靈活選擇最優(yōu)計算路徑，導致性能不足或資源浪費。

技術實現(xiàn)思路

1、針對現(xiàn)有技術存在的廣義rs碼和twisted-rs快速編碼方法的實現(xiàn)問題，本發(fā)明提供了一種針對多項式碼的快速編碼方法。

2、本發(fā)明提供了一種用于多項式碼快速編碼的系統(tǒng)，該系統(tǒng)包括：

3、數(shù)據(jù)輸入模塊，用于接收次數(shù)小于n的多項式以及賦值點向量；

4、數(shù)據(jù)處理模塊，用于：

5、將多項式分解為偶數(shù)次系數(shù)多項式和奇數(shù)次系數(shù)多項式；

6、遞歸調(diào)用賦值點向量分解后的子向量；

7、在特定條件下構建子積樹以優(yōu)化賦值點的計算路徑；

8、輸出模塊，用于合并遞歸計算的中間結果，生成最終的編碼向量，并通過與權重因子矩陣相乘輸出完成的編碼結果。

9、數(shù)據(jù)處理模塊進一步包括：

10、遞歸處理單元，用于通過遞歸算法調(diào)用分解后的多項式和賦值點向量，逐層計算偶數(shù)次和奇數(shù)次系數(shù)多項式的結果；

11、快速傅里葉變換單元，用于在賦值點滿足特定條件時，通過快速傅里葉變換(fft)高效完成多點賦值的計算；

12、合并單元，用于根據(jù)遞歸和分段計算的結果整合目標編碼向量，確保輸出數(shù)據(jù)的完整性和一致性。

13、進一步，該系統(tǒng)還包括性能優(yōu)化模塊，用于根據(jù)輸入數(shù)據(jù)特性選擇最佳的計算路徑，具體包括：

14、參數(shù)分析單元，用于判斷賦值點向量的分布特性和多項式的規(guī)模；

15、模式選擇單元，用于在遞歸算法和快速傅里葉變換之間選擇最優(yōu)模式；

16、時間復雜度計算單元，用于在不同計算路徑中比較編碼效率，確保時間復雜度在或更優(yōu)的范圍內(nèi)。

17、進一步，輸出模塊包括：

18、編碼生成單元，用于接收數(shù)據(jù)處理模塊的計算結果，并結合權重因子矩陣生成編碼完成的輸出向量；

19、數(shù)據(jù)存儲單元，用于記錄中間計算結果和最終輸出，以支持結果驗證和后續(xù)優(yōu)化；

20、數(shù)據(jù)傳輸單元，用于將編碼結果輸出到外部存儲設備或其他應用模塊，支持多種通信協(xié)議和數(shù)據(jù)格式的傳輸。

21、該方案將基于上的多項式碼編碼問題轉化為多項式多點賦值問題，再根據(jù)賦值點的性質(zhì)采用不同的賦值算法。

22、該算法的證明需要一些定義以及定理如下：

23、定義1：定義為q個元素構成的有限域，的元素個數(shù)為pm，其中p為素數(shù)，稱為域特征，一般而言p一般取2或者3，本發(fā)明將考慮p＝2的情況。集合元素的表述如下：

24、{0,α0,α1,...,αq-2}

25、其中α為有限域的本原元(primitive?element)，本原元的某個冪次可以表示該集合的所有元素。

26、定義2：定義上的多項式其中多項式的系數(shù)fi均取自即如果該多項式的最高次系數(shù)fn-1≠0，那么該多項式的次數(shù)為n-1，記作deg(f(x))＝n-1，所有上次數(shù)多項式小于n的多項式集合記為

27、

28、定義3：考慮上n個點a0,a1,…,an-1的次數(shù)為n-1的多項式賦值，即計算多項式f(x)在a0,a1,…,an-1處的值，定義結果

29、

30、那么向量y＝(y0,y2,…,yn-1)就是系數(shù)向量f＝(f0,f2,…,fn-1)的離散傅里葉變換(dft)，也記作y＝dftn(f)。

31、定義4：令k≤n≤q，賦值點向量α＝(α0,…,αn-1)，其中αi(1≤i≤n)是上n個兩兩不相同的賦值點，ν＝(ν0,…,νn-1)其中νi(1≤i≤n)是在上任意取的權重因子，那么長度為n，維數(shù)為k的廣義rs碼定義為：

32、cgrs(α,ν)n,k＝{(f(α0),…,f(αn-1))·diag(ν0,…,νn-1),f(x)∈

33、fq[x]<k}

34、標注5：上述定義表明，廣義rs碼的碼字可以通過先對次數(shù)小于k的多項式f(x)進行賦值，然后乘上一個權重因子對角矩陣diag(ν0,…,νn-1)得到。

35、定義5：令n,k,l∈n為正整數(shù)，l是twisted-次數(shù)，選擇三個向量：

36、t＝[t1,…,tl]∈{1,…,n-k}l

37、h＝[h1,…,hl]∈{1,…,k-1}l

38、

39、其中對于i＝1,…,l，每個(hi,ti)元組是兩兩不同的。定義twisted多項式為

40、

41、由于ti<n-k,i＝1,…,l，twisted多項式的次數(shù)令α＝(α0,…,αn-1)，其中αi(1≤i≤n)是fq上n個兩兩不相同的賦值點，相應的twisted-rs碼定義為：

42、

43、標注6：定義4和定義5所定義的廣義rs碼和twisted-rs碼的編碼都可以轉化為對先一個次數(shù)小于上次數(shù)小于n的多項式多點賦值，然后再乘一個由權重因子決定的對角矩陣diag(ν0,…,νn-1)得到。

44、定理7：令碼長n＝2r,r∈n*，如果賦值點向量可以由上的某個本原元α表示，即α＝(α0,…,αn-1)＝(α0,α1,...,αn-1)，那么可以利用快速傅里葉變換(fft)對多項式賦值，所需要的時間開銷最多為ο(nlogn)。

45、證明定理7：將f(x)的系數(shù)分成奇數(shù)下標和偶數(shù)下標的系數(shù)，并分別定義兩個新的次數(shù)小于的多項式f0(x)和f1(x)，其中f0(x)的系數(shù)為f(x)所有偶數(shù)下標的系數(shù)，f1(x)的系數(shù)為f(x)所有奇數(shù)下標的系數(shù)，即

46、

47、于是有

48、f(x)＝f0(x2)+xf1(x2)

49、由于因此計算0,α0,α1,...,αn-1在f(x)的值轉換為先計算0,α0,α1,...,αn/2-1在f0(x)和f1(x)的值，再將結果合并得到。然后遞歸地對f0(x)和f1(x)在個點進行求值，這樣就可以將n個點的賦值問題轉化為兩個個點的賦值問題。

50、考慮對n個點的賦值的時間復雜度為t(n)，那么有以下遞歸式：

51、

52、因此，采用fft可以在ο(nlgn)的時間內(nèi)完成對次數(shù)小于n的多項式n點賦值。

53、定義8：令si＝x-αi，對于0≤i≤r＝logn,0≤j<2r-i，定義子積

54、

55、該多項式滿足遞歸方程

56、s0,j＝sj,si+1,j＝si,2j·si,2j+1

57、定理9：將賦值點集對等分成兩半并對這兩半遞歸地進行上述處理，這樣就可以得到一個深度為log2n＝r的完全二叉樹，其中根節(jié)點為{α0,…,αn-1}，葉子節(jié)點為{αi},0≤i<n，取定義8的子積多，計算二叉樹所有節(jié)點所對應的子積所需要的時間開銷為ο(m(n)logn)，其中m(n)表示兩個次數(shù)小于n的多項式相乘所需要的運算次數(shù)的上界。

58、證明定理9：對于第i層的節(jié)點，令di,j＝deg(si,j)，計算這一層的子積所需要的時間開銷為

59、

60、與層數(shù)無關，因此計算所有的子積一共需要rm(n)＝m(n)logn＝ο(m(n)logn)的時間開銷，所有子積所構成的二叉樹稱為子積樹。

61、定義10：令d(n)表示在中，將一個次數(shù)小于2n的多項式除以一個次數(shù)為n的首一多項式所需的操作次數(shù)。

62、定理11：令碼長n＝2r,r∈n*，如果兩兩不同賦值點α0,…,αn-1在上隨機取值，那么對多項式賦值所需要的時間開銷最多為ο(d(n)logn)。

63、證明定理11：當r＝0，那么n＝1，f(x)∈fq，相應的輸出就是f(x)。當r≥1時，首先從子積樹的根節(jié)點sr,0(x)出發(fā)，根據(jù)si,j的定義可以得到子積樹根節(jié)點的孩子節(jié)點對應的多項式同理令根據(jù)帶余除法可以得到以下關系式：

64、

65、其中deg(sr-1,i(x))＝2r-1>deg(ri(x)),i＝0,1。因此f(x)在α0,α1,…,的值可以由r0(x)得到，αn/2,α1,…,αn-1的值可以由r1(x)得到。從而將n個點的賦值問題分解為兩個個點的賦值子問題，然后從根節(jié)點出發(fā)到達子積樹的下一層，將當前層的節(jié)點sr-1,0(x)和sr-1,1(x)設置為父節(jié)點，遞歸地進行帶余除法，從而對兩個子問題進行遞歸求解，最終到達子積樹的最底層。

66、可以得到以下遞歸式

67、

68、此外，如果采用牛頓迭代法進行除法運算，則所需要的開銷最多為rd(n)≤r(5m(n)+ο(n))＝ο(m(n)logn)。

69、綜上所述，n個點的多項式賦值需要先計算子積樹再進行上述操作，因此總體所需要的時間開銷至多為

70、m(n)logn+rd(n)≤(6m(n)+ο(n))logn＝ο(m(n)logn)

71、因此得證。

72、本發(fā)明是這樣實現(xiàn)的，一種能夠?qū)崿F(xiàn)多項式碼的快速編碼方法，旨在優(yōu)化廣義rs碼和twisted-rs碼等基于多項式定義的碼的編碼時間復雜度，編碼方法的主體部分為多項式快速賦值算法，具體包括以下步驟：

73、算法的輸入：次數(shù)小于n的多項式賦值點向量α＝(α0,…,αn-1)。

74、算法的輸出：y＝(y0,y2,…,yn-1),yi＝f(αi),i＝0,…,n-1。

75、步驟1：如果n＝1，輸出f(x)。

76、步驟2：如果賦值點向量α＝(α0,α1,...,αn-1)，跳轉到下一步，否則跳轉到步驟5。

77、步驟3：將f(x)分解為偶數(shù)次系數(shù)多項式f0(x)和奇數(shù)次系數(shù)多項式f1(x)，以及新的賦值點向量α′＝((α0)2,(α1)2,...,(αn-1)2)作為算法的輸入，分別遞歸地調(diào)用本算法。相應的輸出為y[0]＝(f0(α0),f0(α1),…,f0(αn/2-1))，y[1]＝(f1(α0),f1(α1),…,f1(αn/2-1))。

78、步驟4：通過式f(αi)＝f0(αi)+αif1(αi),，f(αi+n/2)＝f0(αi)-合并結果，得到y(tǒng)＝(y0,y2,…,yn-1)。

79、步驟5：計算子積樹，得到si,j，0≤i≤r＝logn,0≤j<2r-i。如果已經(jīng)計算過了，直接跳轉到步驟6。

80、步驟6：計算r0(x)＝f(x)modsi-1,2j(x)，r1(x)＝f(x)modsi-1,2j+1(x)。

81、步驟7：劃分賦值點向量，得到α0＝{α0,α1,…,αn/2-1}，α1＝{αn/2,αn/2+1,…,αn-1}。

82、步驟8：將r0(x)和α0，r1(x)和α1分別作為算法的輸入，相應的輸出記錄為(r0(α0),…,r0(αn/2-1)),(r1(αn/2),…,r1(αn-1))。

83、步驟9：合并結果輸出y＝(r0(α0),…,r0(αn/2-1)，r1(αn/2),…,r1(αn-1))。

84、最后將算法的輸出y＝(y0,y2,…,yn-1)乘上權重因子矩陣diag(ν0,…,νn-1)完成編碼。

85、結合上述的技術方案和解決的技術問題，本發(fā)明所要保護的技術方案所具備的優(yōu)點及積極效果為：

86、第一、本發(fā)明基于分治法的思想，加速了多項式的編碼。這種算法的關鍵優(yōu)點包括：

87、1.降低編碼復雜度：傳統(tǒng)的多項式碼編碼需要通過大量的矩陣運算來生成校驗碼，特別是在數(shù)據(jù)量較大的情況下，計算量非常龐大。分治法通過將大規(guī)模的編碼任務劃分為多個小的子任務，每個子任務獨立進行編碼，可以顯著降低整體的計算復雜度，提高編碼效率。

88、2.減少資源消耗：通過分治法的劃分與并行處理，編碼時不需要一次性處理全部數(shù)據(jù)，減少了對內(nèi)存和計算資源的消耗。每個子任務的規(guī)模較小，所需的計算資源相對較低，這對資源有限的設備或系統(tǒng)尤為重要。

89、3.增強錯誤傳播的隔離性：在編碼過程中，通過分治法將數(shù)據(jù)劃分為多個子塊，若某個子塊出現(xiàn)編碼錯誤，錯誤只會影響該子塊的編碼結果，而不會影響整個編碼過程。這樣，能夠提高整體編碼系統(tǒng)的健壯性，減少全局性錯誤的發(fā)生。

90、4.優(yōu)化并行處理能力：分治法能夠充分發(fā)揮現(xiàn)代計算平臺(如多核處理器、gpu、分布式計算)的優(yōu)勢，使得rs碼編碼能夠以更高的效率處理大量數(shù)據(jù)。這使得該編碼方法在大數(shù)據(jù)存儲和高速通信領域具有明顯優(yōu)勢。

91、5.適用性廣泛：該算法適用于對編碼時間復雜度要求較高的工業(yè)通信領域的應用場景，包括但不限于安全通信、敏感信息傳輸和密碼學等領域。

92、總結來說，本發(fā)明通過降低計算復雜度、提高編碼速度、優(yōu)化資源消耗和提升系統(tǒng)擴展性，能夠有效應對大規(guī)模數(shù)據(jù)編碼需求，并為現(xiàn)代通信、存儲等領域提供更高效、更靈活的編碼解決方案。

93、第二，作為本發(fā)明的權利要求的創(chuàng)造性輔助證據(jù)，還體現(xiàn)在以下幾個重要方面：

94、(1)本發(fā)明的技術方案轉化后的預期收益和商業(yè)價值為：

95、將信息通過對多項式碼編碼，將其處在即為復雜的信道中，加速多項式碼編碼。該技術可以用于安全通信、敏感信息傳輸和密碼學等領域。

96、(2)本發(fā)明的技術方案填補了國內(nèi)外業(yè)內(nèi)技術空白：

97、在此之前，一種多項式碼的快速編碼方法尚未被發(fā)現(xiàn)。為解決這一問題，本發(fā)明采用分治法的思想，將上的多項式多點賦值問題分解為規(guī)模減半的兩個子問題，通過遞歸地解決子問題并合并結果，本發(fā)明顯著降低了編碼方法的復雜度。

98、(3)本發(fā)明的技術方案解決了人們一直渴望解決、但始終未能獲得成功的技術難題：在這之前，設計針對多項式碼的快速編碼算法及系統(tǒng)是具有挑戰(zhàn)性的，因為傳統(tǒng)方法通常面臨著計算復雜度高、資源消耗大以及實際應用中的實時性不足等問題。然而，本發(fā)明提出了一種創(chuàng)新性的方法，通過優(yōu)化編碼結構和引入高效的算法設計，大幅降低了計算復雜度，同時提升了編碼效率和穩(wěn)定性。

99、具體而言，本發(fā)明利用優(yōu)化的多項式分解技術和并行計算架構，顯著縮短了編碼時間。此外，系統(tǒng)中還結合了動態(tài)數(shù)據(jù)存儲策略，有效減少了內(nèi)存占用，使其在嵌入式系統(tǒng)和資源受限設備中也能高效運行。

100、通過這一技術方案，不僅解決了傳統(tǒng)編碼算法的核心瓶頸，還為實際應用場景中的數(shù)據(jù)傳輸和糾錯提供了更高的可靠性和靈活性，滿足了工業(yè)領域和通信領域的迫切需求。

101、(4)本發(fā)明的技術方案克服了技術偏見：通過采用創(chuàng)新性的數(shù)學模型和優(yōu)化算法設計，消除了傳統(tǒng)方法中對特定多項式結構或有限場特性的依賴性。本發(fā)明突破了僅適用于特定類型多項式碼的局限，能夠廣泛支持多種編碼結構，包括但不限于bch碼、rs碼和twisted-rs碼。

102、第三，本發(fā)明獲取的顯著技術進步。

103、1)大幅提升編碼效率

104、通過多項式分解、快速傅里葉變換(fft)和子積樹優(yōu)化計算路徑，將時間復雜度從\(o(n^2)\)降至\(o(n\log?n)\)。

105、支持兩兩不同賦值點隨機分布時，通過\(o(m(n)\log?n)\)的復雜度完成編碼，進一步優(yōu)化了大規(guī)模隨機賦值點的計算效率。

106、2)遞歸算法與優(yōu)化路徑的結合

107、本發(fā)明通過遞歸分解多項式和賦值點向量，將大規(guī)模問題分解為小規(guī)模子問題逐步解決，避免傳統(tǒng)方法中一次性計算帶來的效率低下。

108、在賦值點滿足本原元表示條件時，優(yōu)先采用快速傅里葉變換(fft)，顯著減少計算步驟。

109、3)賦值點特性識別與高效利用

110、通過分析賦值點的分布特性，結合性能優(yōu)化模塊中的模式選擇單元，靈活選擇遞歸算法或快速傅里葉變換路徑，確保算法在各種輸入條件下均具備最優(yōu)性能。

111、4)完整的結果驗證與存儲機制

112、輸出模塊中引入數(shù)據(jù)存儲單元，記錄中間結果和最終輸出，支持結果驗證和后續(xù)優(yōu)化。

113、數(shù)據(jù)傳輸單元提供多種通信協(xié)議和數(shù)據(jù)格式的支持，確保編碼結果能夠靈活應用于不同系統(tǒng)。

114、5)產(chǎn)業(yè)化應用中的高適配性

115、在通信領域，通過快速編碼實現(xiàn)大規(guī)模數(shù)據(jù)的高效傳輸與糾錯。

116、在存儲領域，應用于糾刪碼技術，提供高可靠性的冗余數(shù)據(jù)存儲與快速恢復機制。

117、在加密與解密技術中，實現(xiàn)快速編碼的同時支持多項式的復雜運算需求。

118、6)顯著提升系統(tǒng)性能與成本效益

119、時間復雜度優(yōu)化顯著降低了計算資源消耗，為實時性要求高的應用場景提供了解決方案。

120、靈活的優(yōu)化機制避免了計算資源的浪費，使系統(tǒng)在低成本的情況下實現(xiàn)高性能。

121、本發(fā)明通過引入遞歸分解、多點賦值優(yōu)化、快速傅里葉變換及性能優(yōu)化模塊，解決了現(xiàn)有技術中編碼效率低、賦值點特性利用不足和性能優(yōu)化缺失等問題，實現(xiàn)了多項式碼的快速編碼。其顯著的技術進步在于編碼效率的飛躍性提升、靈活性優(yōu)化以及結果驗證機制的完善，為通信、存儲等產(chǎn)業(yè)應用提供了高效可靠的解決方案。